Не кинокритик. Не палеонтолог. (plakhov) wrote,
Не кинокритик. Не палеонтолог.
plakhov

Categories:

Клима Р. Э., Ходж Дж. "Математика выборов"

Как известно, демократия невозможна, т.к. это доказано в теореме Эрроу (спойлер: на самом деле нет). Да, так вот, о чём это я.


Книга - русский перевод американского учебника для студентов нематематических специальностей (например, насколько понимаю, для социологов и политологов всяких). Учебник написан в расчете на довольно продолжительный (семестровый?) курс, но вполне проглатывается за день-два.

Что книжка написана "для гуманитариев", одновременно и хорошо, и плохо. Хорошо - потому что в ней пишут не только, и даже не столько о "высоких материях". Естественный аргумент "это всё какие-то экзотические хитро выдуманные случаи, а на реальных выборах всё гораздо проще" не просто не игнорируется, а много раз явно опровергается историческими примерами. Отыскать, а потом коротко и внятно изложить все эти примеры - огромная работа, авторы молодцы.

Плохо в "гуманитарности" то, что повествование невероятно разбавлено "упражнениями на понимание" совершенно элементарных вещей, а стиль общения "как с пятилетним ребёнком" временами раздражает.

Упражнение 1.1*. Исходя из предыдущих абзацев, как вы думаете, на какой возраст рассчитана книга? Употреблено ли слово "пятилетний" в предыдущем абзаце в буквальном смысле? Поясните, как вы пришли к этому умозаключению.
Упражнение 1.2. Следует ли из утверждения "победитель по Кондорсе не всегда оказывается победителем по системе относительного большинства" то, что В.В.Путин, являющийся победителем по системе относительного большинства, не может являться победителем по Кондорсе?
Упражнение 1.3. Что вы поняли о стиле изложения материала, использованном в книге, в ходе выполнения предыдущих упражнений? Четко аргументируйте свой ответ.

Не могу судить, помогает ли подобный метод лучше усваивать знания mathematically challenged студентам, но книгу читать он поначалу мешает. Потом привыкаешь.

Центральный результат - та самая теорема Эрроу, которую так часто поминают в общественно-политических дискуссиях, обычно в качестве финального заклинания: шах и мат, западные математики давно доказали, что демократия невозможна (например). И ещё несколько подобных результатов про другие механизмы демократии (референдумы да-да-нет-да по нескольким взаимосвязанным вопросам, распределение мест при представительной демократии), но не настолько известных и, рискну сказать, не настолько важных. Впрочем, узнать, что отцы-основатели Америки десятилетиями скандалили на тему "в какую сторону и как округлять дроби при делении", было забавно.

Далее я попытаюсь вкратце объяснить, о чем говорит теорема Эрроу, почему из неё не следует, что "демократия невозможна", и что на самом деле следует.

Начать рассказ следует с того банального замечания, что к выборам из двух кандидатов она не относится. Если кандидатов ровно два, то кто больше голосов набрал, тот и победитель, никаких хитрых математических проблем в этом случае нет.

Понять суть "затруднений с демократией", которые начинаются при трёх кандидатах и более, лучше всего на каких-нибудь конкретных примерах. Один такой пример приведен в википедии в статье о парадоксе Кондорсе, но он мне кажется перегруженным арифметикой. Вот два совсем простых.

1) Пусть на пост президента Вселенной претендуют двадцать кандидатов-близнецов и Гитлер, а в обществе есть 5% фашистов и 95% антифашистов. В этом случае Гитлер получит больше всего голосов (5% против 4,75% у каждого из остальных кандидатов), хотя 95% населения предпочли бы видеть президентом Вселенной кого угодно другого. Вообще, при голосовании по схеме "побеждает тот, кто получит больше всего голосов", победить может кандидат, который нравится сколь угодно малому проценту людей, и не нравится сколь угодно большому. Мой пример, конечно, синтетический, но тесно связанная с ним тактика оттягивания голосов (распыления голосов, выставления кандидатов-спойлеров, кандидатов-однофамильцев и т.п.), думаю, всем хорошо знакома.

2) Пусть на пост президента Вселенной претендуют три кандидата А, В и С. Пусть предпочтения трети избирателей устроены как A>B>C (то есть лучше А, чем В, и лучше уж В, чем С), ещё треть считает, что B>C>A, и последняя треть считает, что C>A>B. Тогда происходит вот что.
- в голосовании "кто лучше - А или В" две трети выберут А
- в голосовании "кто лучше - В или С" две трети выберут В
- в голосовании "кто лучше - А или С" две трети выберут С
И мы приехали: каждый избиратель честен, рационален и сам себе не противоречит, но общество в целом настроено откровенно шизофренично: кандидаты обыгрывают друг друга по кругу с разгромным счётом.

Бывает ли такое в жизни? К сожалению, хоть и не так явно, но подобные эффекты на самом деле проявляются очень часто, в книжке полно исторических примеров.

Теорема Эрроу гласит, что, как бы мы ни устроили избирательную систему, какой-то из подобных парадоксов окажется возможным. При этом известны их возможные типы, и все примерно согласны, что каждый из них плох. Неважно, в один тур голосовать или в несколько, с пунктом "против всех" или без него, с отсеиванием слабейшего, с попарными сравнениями всех со всеми и подсчетом очков, по олимпийской системе, с равными весами избирателей, или зависящими от суммы налогов, возраста и образования - неважно. Есть единственное исключение, при котором парадоксов не возникает. Это диктатура одного "избирателя".

У теоремы Эрроу много разных строгих формулировок, отличающихся набором условий, я не буду работать википедией и их перепечатывать.

Почему так получается? По очень простой, на самом деле, причине: бинарный ответ на вопрос "кто лучше" теряет довольно много информации. Шоколадка "Риттер Спорт" лучше, чем шоколадка "Сникерс", и шоколадка "Риттер Спорт" лучше, чем пытки в лагере смерти, но это разное "лучше". Близнец1 лучше Близнеца2, а Близнец2 лучше Гитлера, но это тоже разное "лучше".

Что на самом деле нужно понимать, и о чем в явном виде в формулировках теоремы Эрроу не пишут - что фундаментальная причина ровно в этой потере информации при бинарном ответе.

Ну-с, давайте теперь изобретем её "опровержение".

В нашем избирательном бюллетене напротив каждого кандидата нужно будет проставить оценку по пятибалльной шкале. Кандидат, набравший максимум баллов, выигрывает. Пыпыщ! И мы внезапно создали избирательную систему, в которой не возникает ни один из парадоксов теоремы Эрроу! Она тем самым, конечно, не опровергнута с точки зрения математики, потому что мы возмутительным образом ввели в систему новую информацию, и тем самым изменили формальный объект, о котором идет речь. Но её наивное бытовое понимание ("не существует...") опровергнуто.

У нас получилась плохая (на практике) избирательная система, потому что не смогут проголосовать люди, не умеющие считать и не понимающие пятибалльной шкалы (гм, я вдруг перестал понимать, чем это плохо), потому что непонятно, как интерпретировать незаполненную или непонятную ячейку (а они обязательно будут), наконец, потому что многие особо шибко умные избиратели, для которых кандидаты относятся как 3 и 4, будут все равно ставить им 1 и 5 соответственно, т.к. последнее сильнее повлияет на общий расклад. Такие "умники" обманут сами себя, т.к. итоговый результат в среднем окажется для них хуже, чем если бы они были честны, но это их не остановит.

Давайте систему улучшим. Оставим единственную оценку: Like! Лайк можно поставить любому числу кандидатов. Кандидат с наибольшим числом лайков побеждает в первом туре. Мы ещё раз"опровергли" теорему Эрроу, а заодно исправили недостатки предыдущей системы.

Можете сами проверить, что попарно кандидаты сравниваются без всяких парадоксов, что "мурзилки" и "спойлеры" голоса не оттягивают, что кандидат, который нравится почти всем, выиграет, а который не нравится почти никому - проиграет, и т.д. и т.п.

Какой хороший получился протокол! Почему же коварные американские буржуи скрывают от всех его существование?

А никто ничего не скрывает. Именно так голосуют самые что ни на есть серьезные пацаны: IEEE, American Statistical Association, Mathematical Association of America. С частичным использованием этой процедуры выбирают Генерального Секретаря ООН, а когда-то выбирали венецианского дожа. Даже на TVTropes так голосуют! Если вам нужно будет какое-нибудь голосование, лично я рекомендую. С аргументами против можете ознакомиться в этой рекламе альтернативного метода, мне они кажутся весьма натянутыми.

Такие вот дела.
Tags: books
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 73 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →