Не кинокритик. Не палеонтолог. (plakhov) wrote,
Не кинокритик. Не палеонтолог.
plakhov

Categories:

Почему Луна не падает на Землю

Нормальные вопросы вообще.



Ещё в детстве, в советских научно-популярных книжках, я прочитал о том, что задача двух тел, движущихся под действием силы тяжести, решена ещё Ньютоном, а та же задача для трёх и более тел настолько сложна, что её пока никто не решил.

Только лет пять назад, попытавшись найти инопланетян и проведя по этому поводу сколько-то численных экспериментов, я наконец понял, что всю жизнь неверно представлял себе, в чём сложность.

Прочитав "Задачу трёх тел" Лю Цысиня, я заподозрил, что я такой далеко не один. В книге сложность одноименной задачи описана некорректно и, что хуже, без этой некорректности разваливается сюжет. Тем не менее, книгу за это никто не ругает (в отличие, скажем, от пылевой бури в "Марсианине").

Недавнее обсуждение вот этой статьи на реддите подтвердило мои подозрения. Статья эта удобна тем, что ключевое заблуждение в ней компактно изложено в трёх предложениях:

But if we introduce a third body, there is no known formula to predict the trajectory of each body. We can still figure it out, but not formulaically. The only way to do it is to run a simulation where we start with the initial mass and velocity of each body, calculate the forces on each, move them one step forward, and repeat. (Нам неизвестна формула для предсказания траекторий трёх тел. Мы все еще можем их рассчитать, но не по формуле. Единственный способ сделать это - запустить моделирование, в котором мы задаём массы и начальные скорости каждого тела, вычисляем силы, действующие на каждое, перемещаем их на один шаг вперед и повторяем)

Это утверждение является верным, но лишь в строгом юридическом смысле, а не по сути. Задача трёх и более тел считается экстремально сложной и интересной совсем по другой причине.

Дело в том, что функцию, для которой "неизвестна формула" и единственный способ узнавать её значения -- численное моделирование, придумать очень легко, и такие функции встречаются повсеместно.

Например, обратная функция к случайно взятой биективной аналитической функции, скорее всего, окажется именно такой. Например, определим функцию f так: f(c) равно такому x, для которого x + sin x = c. Функция f, заданная таким образом, проста как репа. Нарисовать её график тривиально, достаточно нарисовать график функции f(x) = x + sin x и поменять оси местами. Вычислять её значения, если кому-то это понадобится, не сложнее, чем вычислять значение, собственно, синуса. Тем не менее, "нам неизвестна формула для f".

Аналитические формулы для обратных функций чаще всего не просто неизвестны; Абель доказал, что для многочленов пятой степени и старше их и не существует, а с помощью теории Галуа можно пачками доказывать аналогичные теоремы и для других классов.

Другой пример "функции без формулы", знакомый любому матстатистику, это функция распределения стандартного нормального распределения, обычно обозначаемая буквой Ф. Это некий интеграл, не выражающийся в элементарных функциях, но легко вычисляемый численными методами. Вышесказанное не делает вычисление Ф каким-то особенно сложным. Лю Цысинь не написал бы книгу "Вычисление Ф". Когда вы читаете, что какой-то там эффект выявлен на уровне значимости сколько-то там сигма, весьма вероятно, что в ходе определения этого уровня некто взял и вычислил значение этой самой Ф (конечно, не вручную, а на стандартном калькуляторе).

Точно так же даже начинающий программист может взять и написать простую симуляцию для задачи трёх тел. Программа будет состоять из пары десятков строк. Тогда почему же задача трёх тел считается сложной и чем она интересна?

Начало ответа это понятие "неустойчивости". Система трёх тел, как и многие другие системы, описываемые дифференциальными уравнениями, в большинстве случаев неустойчива. Малые изменения в начальных параметрах приводят к разрастающимся со временем изменениям в поведении моделируемой системы. Мы не можем измерить массу или начальную скорость тела идеально точно, а любая ошибка, даже на долю грамма, приводит к тому, что ошибка накапливается и наш численный эксперимент с течением времени может оказаться сколь угодно далеко отстоящим от реальности. Правда, речь о предельном случае. Неустойчивость вовсе не значит, что не получится рассчитать движение планет на какой-то конкретный срок, скажем, на тысячу лет вперёд, если нам каким-то образом удастся все параметры системы очень-очень хорошо измерить. Это вполне реально, даже если представить нас в адской системе кратных звёзд, так что никаких проблем с планированием у живущих так инопланетян не возникло бы.



Перейдём к следующей ступени понимания. Сама по себе неустойчивость тоже не является каким-то лавкрафтианским хоррором. "Устойчивость" в строгом математическом смысле можно определять по-разному, и между "равномерной устойчивостью по Ляпунову" на одном конце спектра и "эргодичностью" (то есть в определенном смысле идеальным хаосом) на другом конце есть много обозримых промежуточных вариантов. В конце концов, даже движение в системе двух тел по Ляпунову неустойчиво: мы не знаем длину года в точности, поэтому за бесконечноллион лет планета окажется в разных местах своей орбиты. Тем не менее, саму эту орбиту мы будем знать с любой необходимой точностью, и будем знать, что планета наша останется на ней, а не будет внезапно выброшена в бесконечность и не столкнется со звездой. Иначе говоря, мы хорошо можем описать пространство всех решений в задаче двух тел, и в пространстве всех их возможных взаимных положений выделить подмножество "разрешенных положений", имеющее очень небольшой объем, которое система никогда не покинет.

Теперь мы, наконец, добрались до ответа на вопрос "почему задача трёх тел такая сложная". Насколько мне известно*, никто не умеет описывать такие ограничения для задачи трёх тел. Ни в общем случае, ни даже в интересных частных. Насколько мне известно*, никто не знает, как описать границы между эргодическими состояниями системы трёх тел, в которых движение полностью хаотическое, и "почти устойчивыми", где можно описать что-то вроде орбиты, пусть даже и многомерной. Насколько мне известно*, никто даже не знает, какие ещё варианты, кроме этих двух, возможны. Ответ на вопрос "какая перед нами система" даже в очень конкретном частном случае, когда все параметры с какой-то точностью известны, может быть очень тяжелым для численных экспериментов, потому что где в пространстве состояний находятся "точки расколбаса", какой объем там занимают, и сколько раз нам нужно систему "слегка случайно пошевелить" и на сколько "лет" вперёд затем посчитать, чтобы убедиться, что она в них, скорее всего, не попадёт.

Теперь вспомним, что задача трёх тел (как и двух, как и десяти) это чистая математическая абстракция. В Солнечной системе помимо звезды, Земли и Луны есть и Юпитер, и другие газовые гиганты. У силы тяжести нет предельного радиуса действия, она слабеет с расстоянием, но не настолько сильно, чтобы их можно было совсем не учитывать. Что хуже, если Вселенная однородна, на расстоянии R от Земли находится O(R^2) объектов, каждый из которых притягивает её с силой O(1/R^2), и при перемножении получаем, формально говоря, константу; то есть пренебрежимо малыми в сумме все эти воздействия становятся только на масштабах, на которых Вселенная однородна, а это, ммммм, оочень далеко, вместо задачи трёх тел задача 10^15 тел получается.

Короче, если упрощать всё очень-очень сильно, никто до сих пор не знает, почему Луна не падает на Землю. Наилучший известный мне ответ выглядит чисто дарвинистским: "Раз за миллиарды лет до сих пор не упала, значит, эта конфигурация достаточно устойчива".



Вот так как-то и получается. Законы движения просты и элегантны, их можно описать программкой в десять строчек и любоваться танцем планет. Но все мы падаем, и всё вокруг падает, и всё никак не может упасть, и никакие суперкомпьютеры и китайские гении пока не помогают.

--
*я не настоящий сварщик, возможно, какие-то из утверждений, помеченных заклинанием "насколько мне известно", в 2021 году уже неверны. Если вы что-то об этом знаете, пожалуйста, сообщите в комментариях.
Subscribe

  • Шаг в Космос номер 0

    По научно-технически-фантастической части ЖЖ недавно гулял очень оптимистичный текст* о космическом будущем человечества. Представьте себе разницу…

  • Путь к светлому будущему

    Десять лет назад, ещё до современного взлёта deep learning, в этом журнале я предсказал, что прорыв в AI будет основан на обобщении методов…

  • Lena

    мой перевод рассказа Sam Hughes, оригинал тут: https://qntm.org/mmacevedo Sam Hughes может быть известен вам как автор цикла про "Отдел…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 95 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →

  • Шаг в Космос номер 0

    По научно-технически-фантастической части ЖЖ недавно гулял очень оптимистичный текст* о космическом будущем человечества. Представьте себе разницу…

  • Путь к светлому будущему

    Десять лет назад, ещё до современного взлёта deep learning, в этом журнале я предсказал, что прорыв в AI будет основан на обобщении методов…

  • Lena

    мой перевод рассказа Sam Hughes, оригинал тут: https://qntm.org/mmacevedo Sam Hughes может быть известен вам как автор цикла про "Отдел…